Ja, die ist eine System App und hat sie automatisch....
Aber im Falle der email app, sofern du nicht Gmail sondern wirklich "email" meinst:
Soweit ich weiß, beherrscht die kein push, sondern ruft nur in festen Intervallen ab, dass emails verspätet ankommen, ergibt sich daraus eben.
Deswegen würde ich dir etwas raten, was ich selbst auch gemacht habe, schon allein um nicht mehrere Mail apps zu benutzen und die von Google eh toll ist (Ansicht ;)) :
Über das Browser Gmail auf deinem Rechner kannst du unter Einstellungen (einfach mal Googlen, gibt mehrere Anleitungen) auch andere email Konten zu Gmail hinzufügen. So richtig mit imap/pop3 etc, nicht etwa als Umleitung.
So brauchst du nur die Gmail App, die push eben beherrscht.
Auch sehr positiv daran: Du musst nie wieder auf irgendeinem Gerät email Konten einrichten, sondern bloß dein Google Konto und kannst auch alle von jedem Browser mal eben über Gmail abrufen